Шкалой в современной теории измерений называют кортеж из трех элементов , а процесс измерения представляют как отображение множества элементов эмпирической системы на числовую ось Rе:
Такое определение охватывает как количественные, так и качественные шкалы. Иерархическая структура основных шкал приведена на рис. 2.1.2. К качественным и слабым шкалам относят номинальную шкалу, шкалу порядка (ранговую шкалу) и шкалу гиперпорядка. К количественным и сильным шкалам в свою очередь принадлежат: степенная шкала и шкала интервалов; логарифмическая шкала, шкала разностей и шкала отношений, а также абсолютная шкала. Функция, входящая в определенные шкалы, не является единственной. Множество Ф={ji} – множество допустимых преобразований ui R yi – является одной из главных характеристик шкалы.
Самой слабой качественной шкалой является номинальная шкала (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам si (их характеристикам ui) или их неразличимым группам дается некоторый признак, ничем не связанное имя объекта. Эти имена (наименования) либо совпадают, либо различаются; никакие более тонкие и определенные отношения между ними не фиксируются. Множество преобразований Ф={ji} для номинальной шкалы охватывает любые преобразования (переименования), которые взаимно однозначны. Следовательно, измерения в шкале наименований позволяют лишь устанавливать отношения тождества, различия и транзитивного тождества. Класс критериев, которые имеет смысл измерять в шкале наименований, крайне узок. К таким критериям относят прежде всего различные решающие правила, используемые в теории распознавания образов для решения соответствия объектов заданному эталону, а также любые пороговые функции, используемые для определения в бинарном коде "да – нет» принадлежности объекта заданному классу (типу. разновидности).
Рис. 2.1.2. Иерархическая структура основных шкал.
Если Ф={ ji} состоит из монотонных преобразований, то соответствующая шкала является шкалой порядка (ранговой шкалой), если же кроме свойства монотонности сохраняется порядок первых разностей, то такая ранговая шкала является шкалой гиперпорядка. Данные шкалы кроме указанных выше свойств тождества, различия и транзитивного тождества обладают свойствами асимметричности и транзитивности. Следовательно, эти шкалы задают на множестве U слабое упорядочение и оценки в ранговой шкале (шкале гиперпорядка) уже имеет смысл сравнивать между собой по принципу "меньше – больше". Но разности критериальных оценок в ранговой шкале оценивать не имеет смысла, такую оценку обеспечивает только шкала гиперпорядка. Критерии, измеримые в ранговой шкале, значительно информативнее измеримых в шкале наименований, т.к. позволяют судить об отношениях "лучше – хуже", существующих между рассматриваемыми объектами.
Среди количественных шкал наиболее часто используются шкала интервалов интервальная шкала), шкала разностей и шкала отношений (подобия). Шкала является интервальной, если множество Ф={ji} состоит из всевозможных линейных функций вида j(u)=K1 +K2u где K2 > 0, K1 – любое. Эта шкала линейного порядка с мультипликативной метрикой и произвольной точкой начала отсчета. Оценка параметра u в шкале интервалов зависит от указанных выше произвольно заданных величин K1 (начало отсчета) и K2 (масштаба, задающего единицу измерения).
Интервальная шкала наделяет возможности отображения в рядом дополнительных свойств: становится возможным сравнение по отношению "больше – меньше", "лучше – хуже» не только самих оценок показателя, но и их разностей; становятся корректными процедуры сравнения всех статистических характеристик случайных величин (математических ожиданий, дисперсий, коэффициентов, асимметрий, смешанных моментов и т.п.).
Шкала разностей является частным случаем и развитием интервальной шкалы, в которой множество Ф = {ji} ограничено линейными функциями вида j(u)=K1+ u, где K1 – любое. Это шкала линейного порядка с аддитивной метрикой и произвольной точкой начала отсчета. Дополнительно к указанным для шкалы интервалов свойствам шкала разностей обеспечивает возможность сравнения любых комбинаций значений показателей или их разностей, основанных на арифметических операциях сложения и вычитания.
Шкала отношений является дальнейшим развитием ранговой шкалы, это шкала с мультипликативной метрикой и естественной точкой начала отсчета, поэтому в ней класс допустимых преобразований в еще более узок, поскольку множество Ф={ji} ограничено прямо пропорциональной зависимостью вида j(u) =K2u, где K2 > 0. Именно поэтому в шкале отношений можно сравнивать не только интервалы между оценками, но и их отношения. Измерения в шкале отношений обладают наиболее разнообразными свойствами, допускающими сравнение не только значений показателей или их разностей, но и любых арифметических комбинаций этих значений, если, конечно, они имеют физический смысл.
Таблица 2.1.1
Сводные данные по характеристикам основных шкал.
Измерение и оценка дидактических (педагогических) характеристик имеет те же особенности, что и измерение эргономических характеристик и качеств, поскольку САО является подклассом антропотехнических систем, изучаемых в эргономике. Соответственно опыт и данные эргономики в области измерения и оценки различных характеристик человеческой деятельности необходимо использовать и развивать в области обучения с учетом его собственной специфики. Особенностью измерения как эргономических качеств вообще, так и дидактических в частности, является то, что при этом могут применяться любые из типов шкал – от самых слабых до самых сильных. Более того, отдельные характеристики и параметры в процессе исследования соответствующей деятельности человека или проектирования всей системы, в которую он включен, могут уточняться, и, как следствие этого, появляется возможность перехода от измерения в качественных шкалах к измерению в сильных количественных шкалах.
В свою очередь совместная обработка и оценка данных, измеренных в разных шкалах, необходимо требует соблюдения определенных правил, которые не всегда очевидны. Избежать ошибок можно, используя накопленные в теории измерений и практически апробированные в эргономике научные результаты и рекомендации. Указанные результат и рекомендации [35, С.44-48] представлены в таблице 2.1.1.
Среднее арифметическое (среднее) применимо для величин, измеренных в шкалах интервалов, разностей, отношений и абсолютной, но недопустимо для шкалы порядка (ранговой шкалы). Если производится совместная обработка параметров, измеренных в шкале порядка и количественных шкалах единственной устойчивой оценкой среднего является медиана (50%-ный квантиль). Математическое ожидание допустимо для всех указанных количественных шкал, применение его в шкале порядка некорректно. Для оценок среднего в шкале отношений считается допустимым также использование среднего геометрического (СГм), среднего гармонического (СГр), среднего квадратического (СК), а также средневзвешенного арифметического (СВА). Вопрос о применении средневзвешенных для обработки данных эргономических измерений считается недостаточно исследованным. Однако в отношении средневзвешенного арифметического считается доказанной допустимость его использования в том случае, когда значения входящих в него частных показателей можно представить мультипликативным метризованным отношением линейного порядка, т.е. когда они измерены в шкале отношений.
При формулировке показателя оценки любого из измеренных параметров yi = j(ui), т.е. при переходе от непосредственно измеренных показателей качества к определенным оценкам, встает вопрос о выборе функционального преобразования шкал. В [35, С.48] сформулированы следующие непосредственно ориентированные на исследование антропотехнических систем возможные условия выбора тех или иных преобразований шкал:
– требования нормирования (мера u» изменяется в рамках области допустимого качества от 0 до 1 или, наоборот, больше 1);
– требования к скорости изменения оценок при приближении к базовому значению показателя качества uо (оптимуму) и к границам mг;
– требования учета влияния частных показателей на интегральный показатель (критерий), т.е. выполнение требований полноты, реализуемости, критичности и чувствительности;
– требование наличия физического содержания (смысла) и учета неопределенностей.
Для оценки эргономических качеств в антропотехнических системах рекомендуются [35, С.48-50] следующие группы функциональных преобразований.
1. Линейная зависимость (линейные преобразования).
1.1. Шкалирование отношений по базовому показателю качества (операция нормирования). Применяется при построении относительных показателей качества (рис.2.1.3, а).
1.2. Шкалирование разности по базовому значению показателя качества (операция разности). Применяется для построения разностных показателей, характеризующих отклонение от базового значения, рассогласование с ним (рис.2.1.3, б).
1.3. Шкалирование отношения по предельно допустимому нижнему отклонению разностного показателя.Применяется для показателей, имеющих одностороннюю нижнюю границу. В области допустимого качества 0 ? u»< +?, вне области u»< 0 (рис.2.1.3 в).
1.4. Шкалирование отношения отклонений от базового показателя по значению этого базового показателя. Характеризует относительные рассогласования, отклонения (рис.2.1.3, г).
1.5. Шкалирование отношения по предельно допустимому верхнему отклонению разностного показателя. Применяется в для односторонних убывающих показателей. В области допустимого качества 0? u»<+?, вне области u» < 0 (рис.2.1.3, д).
1.6. Шкалирование отношения отклонений от верхней (нижней) границы по верхнему (нижнему) предельному отклонению. Применяется для односторонних убывающих (возрастающих) показателей качества (рис.2.1.3,е).
2. Экспоненциальная зависимость. В основном применяется два типа экспоненциального шкалирования относительного разностного показателя качества:
2.1. Зависимость Харрингтона, где для u
2.2. Зависимость Томашевского, где для u
3. Ступенчатая зависимость. Ступенчатое преобразование рассматривается как отношение подобия с a = К в области допустимого качества и a = 0 вне ее. При К = 1 соответственно
u» = 1 в области допустимого качества и u» = 0 вне ее. Такая мера u» есть селектирующая функция области допустимого качества (рис.2.1.5).
4. Степенная зависимость. Наиболее часто используется в виде. Область допустимого качества симметрична и характеризуется значением меры 0 ? u'? 1 (рис.2.1.6).
Законы функционирования систем класса АС изучены не столь тщательно и полно, чтобы по ним можно было легко определить для сформулированного показателя или критерия класс допустимых преобразований и соответствующий ему вид шкалы. В таких случаях используется следующая общая стратегия: в процессе квантификации сформулированной на качественном уровне общей цели А системы представлять сформулированные на более низком уровне иерархии составляющие ее подцели в более сильной шкале, чем представлена порождающая эту подцель цель более высокого уровня. При этом резкий переход от наиболее слабых шкал к наиболее сильным не рекомендуется, т.к. в результате такого скачка может быть просто не выявлен ряд промежуточных подцелей, оказывающих определяющее влияние на достижение общей цели А системы. Только тщательный анализ в процессе квантификации общей цели системы каждой из получаемых на более низких уровнях иерархии подцелей, проводимый вплоть до выявления на низшем уровне этой иерархии полного неизбыточного набора количественно измеримых целей и соответствующих им наборов физически измеримых параметров (характеристик) системы, которые могут быть приняты в качестве частных показателей эффективности, а также последующая оценка представительности этих показателей на основе выявления мнения ЛПР обеспечивают определение полного неизбыточного набора количественно измеримых показателей эффективности системы, с необходимой степенью доверия отображающих соответствие системы целевому назначению.
Решение проблемы квантификации цели А системы и определение полного набора измеримых частных показателей ее эффективности по своей сути является формулировкой исходной ситуации или постановкой задачи для решения последней проблемы формулировки критерия эффективности, которую именуют "проблемой многокритериальности» или "задачей обоснования интегрального критерия". Цель, преследуемая при решении задачи обоснования интегрального критерия эффективности, ясна – это обеспечение полной определенности оценки предпочтительности систем siIS, а на базе этой оценки обоснованности выбора системы so, наиболее полно соответствующей своему целевому предназначению. Полная определенность выбора so, как указывалось выше, может быть достигнута при условии единственности критерия, на основе которого производится оценка эффективности аналогичных систем. Таким образом, задача формулировки интегрального критерия эффективности системы по своей сути прямо противоположна задаче квантификации общей цели А системы: исходные данные одной задачи являются решением другой. Принципиальным отличием решения задачи формулировки интегрального критерия эффективности от соответствующих исходных данных задачи квантификации общей цели А системы является то, что цель А системы в исходный момент начала ее квантификации сформулирована на качественном уровне, а в заключительный момент формулировки интегрального критерия эффективности – на измеримом (количественно измеримом) уровне. Начальная формулировка общей цели А на качественном уровне характеризуется, как правило, полной неопределенностью оценки степени ее достижения, а формулировка этой же цели А в виде количественно измеримого интегрального критерия позволяет не только с полной определенностью оценить степень достижения цели системы, но и произвести анализ влияния на эту оценку тех управляемых параметров. которые характеризуют свойства системы и изменение которых собственно и является средством достижения целей ее проектирования.
Суть "проблемы многокритериальности» состоит в том, что оценка системы по выявленному в процессе квантификации ее общей цели набору количественно измеримых показателей не может быть непосредственно сведена к решению стандартной задачи математического программирования вида (2.11), поскольку принцип "чем больше (меньше) значение критерия, тем лучше", столь конструктивный при числе показателей n = 1, оказывается совершенно недостаточным для определения отношений предпочтительности, когда n ? 2.
Пусть, например, для оценки систем используются два представительных показателя эффективности u1 и u2, значения которых желательно максимизировать. Множество оцениваемых систем формально задано отрезком оси абсцисс (вещественных чисел) S = [s1, s2]. Характер изменения показателей u1 и u2 на множестве S показан на рис.2.1.7.
В области S2 = [s2,s3] оба показателя u1 и u2 изменяются согласованно: увеличение u1 сопровождается увеличением u2. Поэтому, оптимизируя систему по каждому показателю в отдельности, получим:
т.е. система S3 оптимальна на множестве S2 одновременно по обоим показателям. Таким образом, если показатели эффективности согласованы, для оптимизации системы достаточно использовать один (любой) показатель и "многокритериальная» задача вырождается в однокритериальную. Получить в результате квантификации общей цели А системы набор согласованных частных показателей эффективности – удача столь же большая, сколь и редкая. Как правило, используемые для оценки систем частные показатели противоречивы: повышение значения одного влечет снижение значений другого (других) показателя.
Рис.2.1.7. Характер изменения показателей эффективности на множестве S рассматриваемых систем
На рис.2.1.7 показатели u1 и u2 противоречивы в областях S1 = [s1, s2] и S3 = [s3, s4]. Например, в области S1 для всех Si I S1, max u1(S) = u1(S2), a max u2(S) = u2(S1) и не существует системы so I S1, оптимальной одновременно по u1 и u2. Все же можно утверждать, что s0 I S1:
и поэтому любая система s I S3 превосходит по обеим частным показателям (доминирует) любую систему s I S1. Следовательно, если s0 оптимальна на S, то so I S3. Однако, определить какая из систем из S3 = [s3, s4] оптимальна, на основании только значений u1 и u2, невозможно: на S3 не существует доминирующих систем. Поэтому для нахождения оптимальной системы требуется дополнительная информация о предпочтениях на S3 = [s3, s4], не содержащаяся в самих значениях показателей эффективности u1 и u2, хотя, конечно, связанная с ними.
Необходимость выявления, формализации и учета такой информации возникает всякий раз, когда от частных предпочтений по отдельным показателям эффективности требуется перейти к единому отношению предпочтительности, заданному на всей совокупности противоречивых показателей. Однако оценка систем на множестве противоречивых частных показателей всегда сопряжена с многочисленными трудностями, связанными, в первую очередь, с построением единой шкалы для измерения оценки предпочтительности, позволяющей сопоставлять и сравнивать оценки показателей, имеющих различные размерности и физический смысл. Совокупность этих трудностей и составляет суть проблемы обоснования интегрального критерия.
В теории эффективности наиболее общий вид модели, предназначенной для решения задачи обоснования интегрального критерия (решения проблемы многокритериальности), представлен кортежем
где m-тип многокритериальной задачи; S-множество оцениваемых систем, – множество показателей с заданным отношением предпочтения Ru, по которым оценивается система; – множество шкал, обеспечивающих измерение всех показателей из ; B=< Ru > – система предпочтений ЛПР на множестве S; y– решающее правило, задающее на S отношения предпочтительности, удовлетворяющее B.
Особенностью использования модели (2.19) является переход из множества S в пространство показателей, более удобное для дальнейшего анализа и установления отношений предпочтительности. Осуществляется этот переход уже рассмотренным выше при изложении основных положений теории шкалирования образом:
– для каждого показателя Ui, характеризующего степень достижения одной из частных подцелей системы, определяется вид шкалы, в которой он измеряется, т.е. в L определяется множество Ф={j i} допустимых преобразований ui R yi;
– для каждого из частных показателей ui в выбранной для него шкале определяется множество ui его возможных (допустимых) значений, после чего строится пространство допустимых значений критерия эффективности U=U1 ? U2 ?.... ?Un;
– с помощью допустимых отображений из L (допустимых функциональных преобразований шкал Li) каждой системе sIS становится в соответствие вектор оценок y(s)=(y1(s),..., yn(s)), где yi (s) = j[ui(s)] – гомоморфное отображение ui, определяемое видом функции.
– определяется вид функции, соответствующей B=< Ru > и позволяющей получить оценку
значение M которой, вычисленное для данного вектора y(s); служит оценкой предпочтительности этого вектора и соответствующей ему системы s.
В дальнейшем, учитывая однозначное соответствие, установленное между системой s, вектором U(s) и его оценкой y(s) в шкале L, определяемой видом функции, будем оперировать только векторами u(s) или y(s)=j[u(s)] и опускать аргумент s, используя более лаконичные формы записи y=j(u), u=(u1,...un); y=(y1,...yn) там, где это не приводит к недоразумениям.
Может оказаться, что вектору uIU не только не соответствует система из S, но вообще система с такими показателями не существует или нереализуема. В теории эффективности в отношении таких векторов U или их оценок y оперируют, считая их принадлежащими некоторой гипотетической системе. Понятие гипотетической системы очень удобно и широко используется в различных процедурах, направленных на выявление предпочтений ЛПР.
Наиболее сложными этапами приведения модели (2.19) к виду (2.20) является построение единой шкалы и выявление решающего правила, которое придает конкретный смысл и закрепляет понятие "предпочтение» для сравниваемых систем. Поскольку основные проблемы выбора шкал измерения Ui и их функционального преобразования были рассмотрены выше, более подробно необходимо остановиться на определении вида функции y.
Существует два принципиально различных, но часто дополняющих друг друга подхода к нахождению y: прескриптивный (нормативный) и дескриптивный (описательный). Первый описывает B=
Хотя известно большое число различных наборов аксиом, позволяющих строить функции вида (2.20), заложенные в них условия (например, различные условия независимости частных показателей эффективности) весьма ограничительны и могут не соответствовать системе B =
В общем виде модели (2.19) обоснования интегрального критерия присутствует параметр m-тип многокритериальной задачи. Наиболее существенным классификационным признаком, определяющим типы многокритериальных задач, является требуемая степень упорядоченности сравниваемых систем. Задачи, требующие полного упорядочения множества S, могут быть гарантированно решены только при условии формулировки интегрального критерия в виде (2.20). К таким задачам относятся задачи оптимизации и ранжировки рассматриваемых систем. В ряде случаев полная упорядоченность систем не требуется: достаточно выделить из S некоторое подмножество наиболее предпочтительных систем. Для этого решают задачи частичного нахождения "удовлетворительных» систем на эффективной границе и задачи нахождения эффективной границы. Последняя задача в отличие от всех остальных не требует выявления B=
Решение задачи нахождения эффективной границы основано на упоминавшемся понятии доминирования. В теории эффективности понятие доминирования имеет следующий формальный смысл [83, C.163-165].
Векторная оценка u1=(u11,..., un1) I U доминирует над векторной оценкой u2 =(u12,..., un2) I Un, что записывается как u1 >> u2, если
причем хотя бы для одного i имеет место
Для представительных критериев, удовлетворяющих принципу "чем больше, тем лучше» условия (2.21, 2.22) соответственно имеют вид
причем хотя бы для одного i имеет место
В логическом отношении понятие доминирования представляется бесспорным: если система s1 предпочтительнее системы s2 хотя бы по одному частному показателю эффективности и не уступает (эквивалентна) ей по остальным показателям, то следует признать ее предпочтительность над системой s2. При этом, разумеется предполагается, что используемое для оценки систем множество показателей соответствует полному неизбыточному набору целей нижнего уровня дерева целей. Отношения доминирования, установленные на усеченном множестве показателей, не обязательно сохраняется, а поэтому рассматриваются как некорректные. Использование условий (2.23, 2.24) корректно только для представительных показателей, для косвенных и непредставительных показателей справедливы и корректны соответственно условия (2.12, 2.14).
Используя понятие доминирования, на множествах U, Y и S можно строить ряды доминирования вида u1 >> u2 >> u3..., y1 >> y2 >> y3... или s1 >> s2 >> s3....В этих рядах векторная оценка u1(y1) и соответствующая система s1 доминируют над остальными оценками и системами. На рис. 2.1.8 показаны состоящее из семи векторных оценок множество U и два ряда доминирования заданные на этом множестве для случая, когда i=1,2(n=2), a u1j и u2j соответствуют принципу "чем больше, тем лучше".
Оценки систем s1 и s2 доминируют над остальными векторами соответствующих рядов и нет векторов (систем), доминирующих над ними. Вектор системы s7 не доминирует ни над каким из векторов, но и векторы других систем, доминирующие над ним, также отсутствуют. Таким образом, отношение доминирования задает на U частичный порядок и не может быть определено для некоторых uj I U.
Векторная оценка ujIU, не доминируемая векторами uIU, называется эффективной на множестве U. Множество Р всех эффективных на U векторных оценок называется эффективной границей множества U или множеством Парето. На рис. 2.1.8 эффективными являются векторные оценки u1, u2, u7 соответственно систем s1, s2, s7. Из этого же рисунка ясно, что оптимальная система s0IP={s1, s2, s7}. При этом безразлично, какой разумный смысл вкладывается в понятие оптимальности – so всегда будет принадлежать Р. Верно и обратное: для любой векторной оценки ujIP можно подобрать разумный принцип оптимальности, по которому uj будет признана u0, т.е. принадлежащей s0 – наиболее предпочтительной системе. Какой из принципов оптимальности в наибольшей мере соответствует B, можно выяснить, только используя дополнительную информацию от ЛПР. Поэтому определение эффективной границы – это максимум того, что можно сделать в условиях многокритериальности, если ЛПР не может или не хочет раскрыть свою систему предпочтений B. В этом случае ЛПР сам анализирует множество P и выбирает из него оптимальную, по его мнению, векторную оценку u0 и соответствующую ей систему s0 без каких-либо формальных оснований.
Рис. 2.1.8. Пример отношений доминирования.
В теории эффективности сформулирована и доказана следующая теорема, обеспечивающая достаточно простую процедуру определения эффективной границы для целого ряда систем.
Если для некоторых l i > 0,
то векторная сумма uj является эффективной, где – номер и число частных показателей эффективности, a – номер и число рассматриваемых систем. Пусть n=2, а значения весов 1 и 2 фиксированы: l1=a; l2=b. Построим прямую (см.рис.2.1.9)
так, чтобы она пересекала множество U.
Рис.2.1.9. К определению эффективной границы
При увеличении константы c прямая (2.26) будет перемещаться параллельно самой себе, пока не превратится в касательную к границе множества U в точке up. Дальнейшее перемещение прямой (2.6) вверх невозможно и в точке up выполняется условие (2.25). Следовательно, up – эффективная векторная оценка, соответствующая значениям l1=a, l2=b. Повторяя описанную процедуру для всех других возможных соотношений=tga, можно построить эффективную границу P={up}.
При построении интегрального критерия целесообразно сначала представить функцию (2.20) как комбинацию других, более простых функций, содержащих меньшее число переменных и потому легче определяемых. В теории эффективности существует много различных способов такого представления, но возможность и корректность использования любого из них определяется требованиями, предъявляемыми ЛПР как к отдельным показателям, так и к их совокупностям, а также спецификой задачи, для решения которой предназначен формулируемый интегральный критерий. В качестве основных форм представления интегрального критерия в теории эффективности рассматриваются следующие формы: нормальная, мультиаддитивная, аддитивная и формы, эквивалентные аддитивной.
Нормальная форма. Представление интегрального критерия в нормальной форме возможно, если он сам и входящие в его состав частные показатели эффективности удовлетворяют условиям существования и непрерывности.
Условие существования. На множестве функций от n переменных y(uj)=y(u1j,...,unj) имеется хотя бы одна такая, что для любых uе, ukIUn
Из (2.27) следует, что при выполнении условия существования интегрального критерия набор целей, соответствующих частным показателям uiдля любой j-ой рассматриваемой системы, можно заменить эквивалентной этому набору одной количественно измеримой целью. Необходимые и достаточные условия, делающие такую замену возможной, вытекают из (2.2) и формулируются как требование слабого упорядочения к системе предпочтений (2.1), задаваемых ЛПР на множестве сравниваемых систем. Таким образом, если система предпочтений ЛПР является слабо упорядоченной (относится к классу R = IUP отношений слабого предпочтения, допускающего наличие строгих предпочтений P и эквивалентности I), то интегральный критерий существует и, следовательно, задача его нахождения имеет смысл.
Условие непрерывности. Интегральный критерий y(uj) = y(u1j,..., unj) непрерывно дифференцируем в пространстве показателей Uпо всем показателям ui.Это условие в теории эффективности интерпретируется следующим образом.
Пусть имеются векторы ue,uk I U,такие, что причем составляющие их показатели ui удовлетворяют принципу "чем больше, тем лучше". Тогда для любого вектору uk можно задать приращение i-го показателя Dui > 0, при котором
Выполнение (2.28) означает, что предпочтения в пространстве U оценок показателей не меняется скачком при изменении этих показателей, а потому малым приращениям Duiпоказателей, должны соответствовать столь же малые приращения интегрального критерия.
Если выполнены условия существования и непрерывности, то интегральный критерий представим в нормальной форме
где u(i) = (u1,...,ui) – вектор, содержащий только первые i из общего числа n показателей.
Пусть, например, n = 4, тогда (2.29) примет вид
Мультиаддитивная форма. На основе нормальной формы можно получить и другие, более простые по своей структуре представления интегрального критерия формы. Для этого набор используемых показателей эффективности должен удовлетворять дополнительно к условиям существования и непрерывности еще ряду условий.
Условие независимости по приращению. Условие независимости по приращению можно сформулировать в компактном виде, введя обозначение для вектора u(i-) = (u1,...,ui-1,ui+1,...,un) не содержащего i-ой компоненты.
Показатель ui не зависит по приращению от остальных показателей, если отношение предпочтительности между приращениями этого показателя не зависят от того, на каком уровне зафиксированы значения компонент вектора u(i-).
Проверка выполнения условия независимости по приращению для каждого частного показателя эффективности может быть проведена путем установления отношения предпочтительности ЛПР, между одним и тем же приращением Dui показателя ui при различных значениях вектора. Если отношение предпочтительности ЛПР к приращению Dui показателя ui сохраняется при любых значениях u(i-), т.е. рост ui равножелателен при любых значениях остальных частных показателей, то показатель Ui независим по приращению.
Если для всех частных показателей uiвыполняется условие независимости по приращению, то интегральный критерий представим в мультиаддитивной форме
В отличие от нормальной мультиаддитивная форма интегрального критерия представляет собой комбинацию из n функций одной переменной, находить которые, естественно гораздо проще, чем функции многих переменных. Поэтому, когда есть основания полагать, что все критерии независимы по приращению, интегральный критерий целесообразно записывать в мультиаддитивной форме.
Аддитивная форма. Дальнейшее упрощение формы интегрального критерия может быть достигнуто только за счет все более сильных условий независимости. Если условие независимости по предпочтению, обеспечивающее возможность представления интегрального критерия в виде аддитивной функции n переменных, рассматривать с этой точки зрения, то его, безусловно, следует признать одним из наиболее ограничительных.
Условие независимости по предпочтению. Пара показателей (ui,uj) не зависит по предпочтению от остального набора показателей эффективности u(i,j-)=(u1,...,ui-1,ui+1,...,uj-1,uj+1,...,un), если отношение предпочтительности, установленное между векторами uе = (uie,uje,uе(i,j-)) и uk = (uik,ujk,uk(i,j-)) не зависит от уровней, на которых зафиксированы значения показателей u(i,j-).
Согласно данному определению из независимости по предпочтению показателей (ui,uj) следует, что, определив отношение предпочтительности на плоскости Ui ? Uj с учетом только показателей ui и uj, можно распространить найденные отношения предпочтительности на все пространство U.
В теории эффективности обосновано, что, если каждая пара частных показателей (ui, uj); i ? j; i,j = , не зависит по предпочтению от своего дополнения u(i,j-), то интегральный критерий имеет аддитивный вид
Формы, эквивалентные аддитивной. Принято, что интегральные критерии j(u) и y(u) эквивалентны, если отношения предпочтительности, определяемые с их помощью между любой парой ue,uk IU совпадают. Отсюда следует, что интегральные критерии, получаемые один из другого с помощью монотонных преобразований (функциональных преобразований шкал), эквивалентны. Поэтому аддитивной форме эквивалентны следующие формы представления интегрального критерия:
1. Мультипликативный критерий
логарифмируя который, нетрудно перейти к аддитивной форме.
2. Аддитивные критерии вида
где fk – любая из приведенных выше форм функционального преобразования шкалы измерения uk.
В теории эффективности разработаны алгоритмы построения всех приведенных выше форм интегрального критерия, подробное описание этих алгоритмов можно найти в [83, С.173-193]. При всех отличиях этих алгоритмов в своей основе они опираются на предположение об измеримости предпочтительности как минимум в интервальной шкале и представляют собой различные способы согласования шкал измерения отдельных показателей эффективности, объединяемых в интервальный критерий.
В заключении краткого анализа данных теории эффективности необходимо отметить, что рассмотренные выше задачи обоснования и формулировки необходимой совокупности частных показателей и интегрального критерия эффективности, являются подготовительным этапом к решению основной проблемы этой теории – проблемы изучения закономерностей, устанавливающих зависимость результата функционирования системы от ее свойств и условий функционирования. Эта проблема в теории эффективности и формулируется в виде прямой и обратной задач. Прямая задача формулируется как задача анализа имеемой системы и состоит в оценке результатов ее функционирования в зависимости от свойств системы (управляемые параметры) и условий функционирования (неуправляемые параметры). Обратная задача формулируется как задача синтеза системы и состоит в отыскании такой комбинации ее свойств и условий функционирования, при которых результаты функционирования будут либо заданными, либо оптимальными в смысле принятого критерия эффективности. При этом в обратной задаче до последнего времени рассматривались два относительно самостоятельных класса подзадач:
1) задачи использования имеемой технической системы, "которые заключаются в поиске наивыгоднейших (оптимальных) способов функционирования технической системы (способов ее применения) при неизменно заданных (фиксированных) параметрах, отражающих свойства и условия ее функционирования» [81, С.26];
2) задачи оптимального проектирования, "сущность которых заключается в том, что задаются (фиксируются) параметры, отражающие условия функционирования, и необходимо определить оптимальные параметры, отображающие свойства технической системы» [81, C.27].
Данные последних исследований, завершившиеся фактическим включением теории эффективности систем в системотехнику в качестве одного из основных ее разделов, позволяют сделать вывод о том, что только совместное решение на основе системного подхода обоих подклассов обратной задачи обеспечивает достижение максимально возможной эффективности создаваемой технической системы, Только полное взаимное соответствие технических характеристик системы условиям и способам ее применения обеспечивает тот резонансный пик эффективности системы, поиск которого и является основной целью ее проектирования. В свою очередь задача синтеза системы (обратная задача) не может быть эффективно решенной, если не выявлены закономерности изменения результатов функционирования системы в зависимости от ее свойств и условий функционирования, не сформулирован критерий оценки этой результативности, критерий эффективности системы, т.е. если не решена задача анализа исходной системы (прямая задача). Приведенные выше положения о взаимной обусловленности постановки и решения задач системного анализа (прямя задача) и системного синтеза (обратная задача) тривиальны для системного подхода, принятого в качестве методологической базы настоящего исследования. Здесь указанные положения приведены еще раз с единственной целью конкретизации основных задач системного анализа данных дидактики как научной дисциплины, определяющей, изучающей и формирующей мнение специалиста (ЛПР) в области применения проектируемой АОС (КОС) в отношении эффективности ее функционирования.
Приведенные выше основные положения системотехники (теории эффективности систем, теории измерений и т.д.) определяют следующую последовательность действий по разработке критерия эффективности любой системы:
1. Формулировку глобальной (общей) цели функционирования системы на качественном (содержательном) уровне.
2. Квантификацию общей цели системы на частные подцели вплоть до выявления полного неизбыточного набора измеримых целей.
3. Определение на основе принципов соответствия, полноты, критичности, реализуемости и физического смысла для каждой из частных подцелей, которые составляют полный неизбыточный набор измеримых целей, показателя эффективности, удовлетворяющего условиям (2.46 2.5).
4. Оценку представительности каждого из частных показателей эффективности и формирования набора (вектора) показателей наименьшей размерности, позволяющего производить оценку отношений предпочтительности с требуемой представительностью.
5. Определение шкалы измерения каждого из частных показателей эффективности и соответствующих допустимых видов и процедур их осреднения и обработки.
6. Оценку выполнения условий существования, непрерывности, независимости по предпочтению и по приращению для всех частных показателей эффективности.
7. Определение допустимых форм представления критерия эффективности системы.
8. Выбор формы представления критерия и его построение.
Реализация приведенной последовательности процедур обеспечивает разработку критерия эффективности обучения, соответствующего всем требованиям системотехники (теории эффективности систем), и определяет основные направления анализа содержания данных дидактики в отношении эффективности обучения.
2.1.2. Анализ содержания основных положений дидактикив отношении эффективности обученияЛюбая научная дисциплина, в том числе и дидактика, изучая свою предметную область, всегда в той или иной форме касается вопросов результативности
