Учитель поощряет детей за хорошую работу и задает аналогичный вопрос про «кружочки с треугольниками».
«А теперь, – говорит учитель, – я задам вам трудный вопрос. Чего больше в магазине: обуви или детской обуви?» Ответы могут быть разные. Некоторые дети ответят правильно. Но найдутся и такие, которые дадут ложные ответы. Если окажется, что количество пар взрослой и детской обуви одинаковое, то ученики могут сравнить детскую обувь со взрослой и ответить: «Поровну». Учитель предлагает детям работать с метками и всем вместе найти правильный ответ.
Они приходят к выводу: когда речь идет об обуви в магазине, то надо учитывать все метки. Учитель объединяет дугой все множество. Когда же речь идет о детской обуви, то учитывается только часть меток. Можно предложить ученикам все метки, обозначающие детскую обувь, расположить в начале ряда. Учитель делает то же самое на доске и обводит детскую обувь дугой снизу. Теперь дети наглядно видят, что всей обуви больше, чем детской. Учитель еще раз специально показывает, что «вся обувь» – это все метки, а «детская обувь» – только часть их.
Аналогичную работу можно проделать с обувью для взрослых.
Дети с удовольствием составляют также «Учетную карту лесника», где надо разместить разных птиц или зверей. На заключительном этапе работы обязательно проделывается работа по сравнению объема родовых и видовых понятий. Учитель, в частности, может предложить детям определить, какие из названных предложений правильные, а какие нет. Например: «Ель – это дерево. Дерево – это ель'; «Медведь – это лесной зверь. Лесной зверь – это медведь» и т.д. Каждый раз ученики должны объяснить, почему одно из предложений является неверным.
На внешнеречевом этапе задания можно давать уже без средств материализации, в чисто речевом плане. (Разумеется, не исключено, что дети будут мысленно представлять метки. Но это уже большой шаг вперед по сравнению с материализованными действиями.)
Использовать надо хорошо знакомые детям предметы: ложки и чайные ложки, фрукты и яблоки, одежда и пальто.
На заключительных этапах работы можно использовать и обычно применяемые в логике круги. Весь круг обозначает новое понятие, а его части – видовые. Можно ввести и условные обозначения. Например, объем родового понятия обозначается одной буквой, а видового – другой. Если дети еще не знают к этому времени знаки «равно», «не равно», «больше», «меньше», то вводятся эти знаки. Теперь ученики могут записать отношения между родовыми и видовыми понятиями.
Уже в шесть лет дети успешно усваивают и начальные умозаключения. Вначале, работая с видо-родовыми отношениями, учитель показывает, что если А больше В, то В меньше А. В конце учебного года шестилетние дети успешно работают уже с более сложными отношениями: если А больше В, а В больше С, то А больше С. Введение связанных с величинами аксиом необходимо уже в первом классе, так как без этого невозможно обеспечить полноценное усвоение понятия о числе, о числовом ряде и др. как и в других случаях, в работе используются конкретные предметы. Постепенно дети знакомятся со знаками «равно», больше», «меньше», «не равно» (СНОСКА: Разработка занятий сделана экспериментаторами М.В. Кралиной и Г.Г. Микулиной.).
Вот одно из заданий.
Учитель предлагает детям налить воду в две банки: для ежика и для кошки. В каждую наливается по три одинаковых мерочки. Все выполняемые действия проговариваются, каждое выливание из мерочки отмечается меткой. В результате получается два ряда меток, в каждомпо три. Учитель спрашивает, кому достанется воды больше: ежику или кошке? Дети соединяют последовательно в пары метки первого и второго ряда; видят, что лишних не осталось. Значит в первом ряду столько же меток, сколько и во втором. Мерочка была одна и та же. Делают вывод, что ежику и кошке воды достанется поровну. В дальнейшем учительница предлагает «зашифровать» их вывод. Каждую банку обозначают своей буквой и ставят между буквами знак равенства. На заданиях такого рода дети постепенно усваивают, что если мерки равные, ими измеряли одинаковое число раз, то и полученные величины будут равными. Аналогичным образом, измеряя по длине палочки, полоски бумаги путем прикладывания друг к другу, они усваивают, что если первый предмет равен второму, то и наоборот. И все это записывается. Например, итог сравнения красной и синей палочек по длине записывается так: К = С; С = К.
Когда дети усваивают аксиому о том, что если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой, учительница сообщает, что в стране «Величиния» (СНОСКА: Дети хорошо знают эту «страну». Там живут величины, с которыми они постоянно встречаются: площадь, масса и др.)будет праздник. Надо разучить парные танцы. Рост у танцоров в паре должен быть одинаковым. Вызываются два мальчика, у которых равный рост.
Потом оказывается, что в паре должны быть мальчик и девочка. Одного из мальчиков сравнивают по росту с несколькими девочками и находят среди них девочку такого же роста. Появляется запись: П = Р; Р = Т, где буквы обозначают имена участвующих в игре детей. Учительница обращается к классу: «Ребята, а правильно ли мы выбрали Таню? (Т) Мы ведь ее сравнивали с Русланом (Р), а не с Петей (П)». Идет обсуждение, спор. Учительница предлагает помериться Пете и Тане. Дети убеждаются, что выбор сделан правильно. Делается заключение, что Петя равен по росту Тане, и это отмечается под чертой, которая заменяет слово «значит». Учительница может задать еще несколько вопросов, чтобы дети лучше поняли смысл сравнения двух величин с третьей.
Итак, дети постепенно от практических, реальных действий переходят к символическим записям, что служит материализацией действия. При этом все выполняемые операции и все используемые величины постоянно называются. Так готовится речевая форма действия.
Для активизации работы на уроках учителю следует использовать различные средства автоматизации, ему надо стараться придумывать такие задания, в которых одновременно участвовали бы все дети. Проговаривать можно иногда хором, чаще устраивать работу парами, малыми группами. Главное, должен быть динамизм, реальные действия детей, как можно меньше словесных объяснений. (Дети тут же отвлекаются, когда речь учителя затягивается, и они должны слушать.) Не надо бояться вводить игру. И не только для шестилеток и семилеток, но и для детей более старшего школьного возраста.
Контрольные вопросы
1. С чего надо начинать формирование логического мышления детей?
2. Какой методический прием помогает детям увидеть множество свойств в предметах?
3. Ученик правильно отвечает на вопрос о том, какие признаки являются общими, а какие отличительными. Можно ли считать, что ученик усвоил эти виды свойств?
4. Почему при формировании представлений о разного вида свойствах предметов необходимо предлагать учащимся задачи?
5. Назовите виды свойств, которые должны быть сформированы у учащихся уже в первом классе.
6. Назовите прием, который помогает отличать существенные свойства от несущественных.
7. Какие этапы процесса усвоения представлены в рассмотренных методических разработках? Как бы вы организовали работу на других этапах?
Литература
Столяр А.А. Математические игры для детей от 5-6 лет. – 1991.
Усова А. В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения. – 1986.
Глава 10. Формирование научных понятийПонятия являются одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе – и предметов начальной школы.
Одно из первых математических понятий, с которым ребенок встречается в школе, – понятие о числе. Если это понятие не будет усвоено адекватно, у обучаемых возникнут серьезные трудности при дальнейшем движении в системе счисления, в том числе и в понимании самого понятия система счисления.
С самого начала встреча с понятиями происходит у учащихся при изучении и других математических дисциплин. Так, начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречается с понятиями точка, линия, угол, а далее – с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов (линий, углов, треугольников и др.).
Задача учителя – обеспечить полноценное усвоение этих понятий. Если мы обратимся к школьной практике, то увидим, что эта задача решается далеко не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы.
Главный недостаток школьного усвоения понятий – формализм. Суть его состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определение понятий, т.е. осознавая их содержание, не умеют пользоваться ими при ориентировке в предметной действительности, при решении задач на применение этих понятий. Проанализируем несколько типичных примеров, которые мы упоминали ранее.
Учащиеся только что изучили понятие об окружности. Они легко и правильно воспроизводят определение окружности, указывая на то, что это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной, называемой центром. После этого учащимся предлагается изображение эллипса, внутри которого поставлена точка («центр»). Учащихся спрашивают, можно ли эту замкнутую кривую назвать окружностью. Значительная часть учащихся отвечает положительно. На вопрос, почему они считают, что эта кривая является окружностью, отвечают: «У нее тоже есть центр».
Второй пример. Учащиеся изучили прямоугольные треугольники. Они уверенно говорят о том, что треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол. Тут же им предлагается прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине. Учащиеся измеряют угол, убеждаются, что он прямой, но прямоугольным треугольником назвать его не соглашаются.
Еще один пример. Учащиеся дают правильное определение смежных углов. Они указывают, что это такие два угла, которые имеют общую вершину, общую сторону, а две другие их стороны продолжают друг друга. Учащиеся правильно изображают смежные углы на доске, узнают их среди множества предъявленных. Как будто бы все в порядке. Но вот учащимся дают задачу: «Даны два угла с общей вершиной. Сумма этих углов равна 180°. Будут ли эти углы смежными?» Подавляющее большинство учащихся отвечают положительно. Ответ неверный. Условия этой задачи не содержат указаний на наличие у данных углов общей стороны, но в условии в то же время нет информации и о том, что общей стороны эти углы не имеют, т.е. налицо ситуация неопределенности. В самом деле, под данные условия вполне подходят не только смежные углы, но и прямые вертикальные углы общая вершина и сумма 180° имеют место. Если бы учащиеся умели использовать» содержание определения, они должны были бы дать ответ: «Неизвестно» (данные углы могут быть как смежными, так и не смежными).
Примеров неумения учащихся пользоваться понятиями при работе с реальными объектами, при анализе условии задачи можно привести очень много. И все они говорят о том, что знание определения понятия еще не говорит о том, что оно усвоено учеником по существу, а не формально.
10.1 Виды понятийПри усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению.
Логика в понятиях различает объем и содержание. Под объемом понимается тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия треугольник входит все множество треугольников независимо от их конкретных характеристик (видов углов, размера сторон и др.). Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс. В понятии треугольник к таким свойствам относятся следующие: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. Напомним, что отношение между этими признаками в разных понятиях разное. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие. Так, у объектов, относящихся к понятию треугольник, обязательно должны быть оба вышеуказанных признака, по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса. В логике понятия с такой связью признаков называются конъюнктивными: признаки связаны союзом «и» (в случае с треугольниками фигура должна быть и замкнутой, и состоять из трех отрезков прямой).
В других понятиях отношение между необходимыми и досрочными признаками другие: они не дополняют друг друга, а заменяют. Это означает, что один признак является эквивалентом другого. Примером такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства отрезков, углов. Известно, что к классу равных отрезков относятся такие отрезки, которые: а) или совпадают при наложении; б) или порознь равны третьему; в) или состоят из равновеликих частей и т.д.
В данном случае перечисленные признаки не требуются все одновременно, как это имеет место при конъюнктивном типе понятий; здесь достаточно какого-то одного признака из всех перечисленных: каждый из них эквивалентен любому из основных. В силу этого признаки связаны союзом «или». Такая связь признаков называется дизъюнкцией, а понятия соответственно называются дизъюнктивными.
Важно также учитывать деление понятий на абсолютные и относительные. Само название понятий говорит о специфике каждой группы. Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такого. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями: окружность, луч, ромб и т.д.
В случае относительных понятий объекты объединяются в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу: пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона.
Опыт показывает, что относительные понятия вызывают у учащихся более серьезные трудности, чем понятия абсолютные. Суть трудностей состоит именно в том, что школьники не учитывают относительность понятий и оперируют с ними как с понятиями абсолютными. Так, когда учитель просит учеников изобразить перпендикуляр, то некоторые из их изображают вертикаль. Особое внимание следует уделить понятию число.
Число – это отношение того, что подвергается количественной оценке (длина, вес, объем и др.) к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона. Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон (мера), тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три – при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления.
Не понимая, что действия сложения, вычитания можно производить только с теми числами, за которыми стоит один и тот же эталон, они далеко не всегда, например, могут объяснить правило сложения «столбиком». Допустим, складывая единицы, ребенок получил тринадцать. Он правильно указывает, что три запишем внизу (под единицами), а один «заметим» наверху (над десятками). Однако на вопрос: «А почему так надо делать?» – ученики довольно часто отвечают: «Так учительница говорила». Они не понимают, что получившийся у них десяток – это уже приведение единиц к другой мере, в десять раз большей, и поэтому его складывать можно только с десятками. Непонимание учениками позиционного принципа системы счисления и отражения этого принципа при записи чисел ярко проявляется также при решении такой задачи: «У нас 111899 конфет. Выбери в этом числе цифру, которая обозначает в нем наибольшее количество конфет». Как правило, дети выбирают девятки. Это как раз и говорит о том, что для них число – понятие абсолютное, а не относительное.
Трудности в усвоении относительных понятий сохраняются у учащихся и в средних, и даже в старших классах школы.
10.2 Сущность понятийПонятия выступают перед учениками как элементы социального опыта. В них зафиксированы достижения предыдущих поколений. Учащиеся должны этот социальный опыт сделать своим индивидуальным опытом, элементами своего умственного развития.
Понятие, усвоенное человеком, становится образом, но образом особым: абстрактным и обобщенным. В самом деле, человек может мыслить треугольниками, не представляя при этом никакого конкретного объекта, относящегося к этому понятию. Понятие конкретно представить в принципе невозможно: любое представление – это образ какого-то конкретного объекта, в этом образе обязательно будут содержаться существенные признаки.
10.3. Пути усвоения начальных научных понятийЛ. С. Выготский впервые ввел в психологию деление понятий на научные и ненаучные – «житейские», при этом он имел в виду не содержание усваиваемых понятий, а путь их усвоения.
Ребенок застает сложившуюся в обществе систему понятий. Усвоение этой системы всегда происходит с помощью взрослых. До систематического обучения в школе взрослые не ведут специальной работы по формированию понятий у детей. Они обычно ограничиваются лишь указанием на то, верно или неверно ребенок отнес предмет к соответствующему понятию. Вследствие этого ребенок усваивает понятия путем «проб и ошибок». При этом в одних случаях ориентировка фактически происходит по несущественным признакам, но в силу сочетания их в предметах с существенными в определенных пределах оказывается верной. В других – ориентировка происходит на существенные признаки, но они остаются неосознанными. Именно в этой неосознанности существенных признаков Л.С. Выготский и видел специфику так называемых житейских понятий. Такое усвоение понятий не отражает всех сторон специфически человеческого способа приобретения новых знаний.
Совсем другое дело, считал Л.С. Выготский, когда ребенок попадает в школу. Процесс обучения предполагает переход от стихийного хода деятельности ребенка к деятельности целенаправленной, организованной. Понятия, которые формируются у ребенка в школе, характеризуются тем, что их усвоение начинается с осознавания существенных признаков понятия, что достигается введением определения.
Именно в этой осознанности существенных признаков Л.С. Выготский и видел специфику научных понятий.
Этот путь, по его мнению, дает возможность ребенку в дальнейшем произвольно и сознательно действовать с понятием.
Исследования, проведенным впоследствии Н.А. Менчинской и ее сотрудниками (СНОСКА: Психология усвоения понятий / Под ред. Н. А. Менчинскои // Известия АПН РСФСР. – 1950. – Вып. 28.), показали, что предположение Л.С. Выготского не подтверждается.
Большинство учащихся безошибочно воспроизводят определение понятия, т.е. обнаруживают знание его существенных признаков, но при встрече с реальными объектами опираются на случайные признаки, установленные в непосредственном опыте. И только постепенно, через ряд переходных этапов, в результате своей собственной практики учащиеся научаются ориентироваться на существенные признаки предметов.
Таким образом, словесное знание определения понятия не меняет, по существу, хода процесса усвоения этого понятия, что убедительно доказывает невозможность передачи понятия в готовом виде. Ребенок может получить его лишь в результате своей собственной деятельности, направленной не на слова, а на те предметы, понятие о которых мы хотим у него сформировать.
Знание существенных признаков понятия может изменить ход и характер познавательной деятельности только в том случае, когда эти признаки войдут в нее в качестве ориентиров, т.е. будут реально участвовать в процессе решения задач, поставленных перед ребенком. Поскольку при обычной организации учебного процесса это не обеспечивается, то со стороны познавательной деятельности учащихся усвоение житейских и научных понятий у значительной части обучаемых идет весьма сходным путем.
И главное, при школьном обучении понятия усваиваются частью учащихся на том же уровне, что и «житейские': учащиеся практически используют существенные признаки, но не осознают их, не могут целенаправленно применять в процессе решения задач. Так, в исследовании, проведенном нами совместно с К.А.Степановой (СНОСКА: Талызина Н.Ф., Степанова К.А. Применение понятии в затрудненных условиях // Доклады АПН РСФСР. – 1962. – ? 1. Талызина Н.Ф., Степанова К.А. Применение понятии в затрудненных условиях // Доклады АПН РСФСР. – 1962. – ? 1.), оказалось, что среднеуспевающие учащиеся шестого класса при решении задач на подведение под начальные геометрические понятия дали 72,5% правильных ответов. Однако обоснование правильности ответа имело место только в 27,5% случаев. В исследовании В.И. Быковой (СНОСКА: Быкова В.И. Оперирование понятиями при решении геометрических задач // Известия АПН РСФСР. – 1950. – ? 28.) отмечается, что такой уровень усвоения понятий наблюдается вплоть до восьмого-девятого классов. Следовательно, знание существенных признаков не обеспечивает сознательного использования их ориентировке в соответствующей действительности.
Становление понятий – это процесс формирования не только особого образа мира, но и определенной системы действий. Действия, операции и составляют собственно психологический механизм понятий. Действия выступают как ведущее звено, как средство формирования понятий. Без них понятие не может быть ни усвоено, ни применено в дальнейшем к решению задач. В силу этого особенности сформированных понятий не могут быть поняты без обращения к действиям, продуктом которых они являются.
10.4. Виды действий, используемых при формировании понятийВыбор действия определяется прежде всего целью усвоения понятия. Допустим, понятие усваивается для того, чтобы распознавать объекты, относящиеся к данному классу. В этом случае необходимо использовать действие распознавания, действие подведения под понятие. Если учащиеся не знакомы с этими действиями, то необходимо раскрыть их содержание, показать, как следует их выполнять.
Действие распознавания может быть использовано при формировании понятий с конъюнктивной структурой признаков; дизъюнктивные понятия требуют некоторого изменения в процессе распознавания объектов.
Для понятий с дизъюнктивной структурой признаков правило распознавания, как было показано, имеет такой вид:
–объект относится к данному понятию, если он обладает хотя бы одним признаком из числа альтернативных;
– если объект не обладает ни одним из этих признаков, то он не относится к данному понятию;
–если ни про один из признаков неизвестно, есть он или его нет, то неизвестно, относится или не относится этот объект к данному понятию.
Как видим, содержание действия подведения под понятие требует специального анализа, предполагает целую систему предварительных знаний и умений, причем не только из данного предмета, но и из логики.
Кроме действия распознавания можно использовать и другие, которые мы рассмотрели ранее: выведение следствий, сравнение, классификация; действия, связанные с установлением иерархических отношений внутри системы понятий, и др. Порядок формирования логических действий определяется как содержанием каждого из них, так и отношениями друг с другом.
10.5. Роль определения понятия в процессе его усвоенияМы показали, что понятие не может быть передано учащимся в готовом виде, они должны получить его сами, взаимодействуя с относящимися к нему предметами. Какова же роль определения в этом процессе взаимодействия? Определение задает как бы точку зрения – ориентировочную основу – для оценки предметов, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение угла, ученик может теперь анализировать различные предметы с точки зрения наличия или отсутствия в них признаков угла. Аналогично, имея определение окружности, учащийся может анализировать различные формы объектов с точки зрения тех признаков, которые содержатся в определении окружности. Такая реальная работа по оценке различных предметов постепенно создает в голове ученика адекватное понятие как обобщенный и абстрактный образ предметов данного класса.
Таким образом, получение определения – это не конец усвоения понятия, а лишь первый шаг на этом пути. Следующий шаг – включение определения понятия в те действия учащихся, которые они выполняют с соответствующими объектами и с помощью которых строят в своей голове понятие об этих объектах.
Следующий важный шаг состоит в том, чтобы научить школьников ориентироваться на содержание определения при выполнении различных действий с объектами. Другими словами, надо добиться того, чтобы точка зрения, предложенная учителем, была принята и реально использовалась учащимися, т.е. входила в содержание ориентировочной основы выполняемых действий. Если это не обеспечено, то в одних случаях ученики будут опираться на свойства, которые они сами выделили в объектах; в других случаях дети могут использовать только часть указанных свойств; в третьих – могут добавить к указанным в определении свои, что также приводит к ошибкам. Если вернемся к вышеприведенным примерам, то обнаружим в них все эти случаи. Так, признавая за перпендикуляр вертикаль, школьник опирается на признак, которого нет в определении перпендикулярных прямых. Относя эллипс к классу окружностей, ученик учитывает лишь часть признаков указанных в определении окружности. Аналогичное имеет место и в примере с распознаванием смежных углов. При распознавании прямоугольных треугольников ученики, наоборот, привнесли дополнительный признак: пространственное положение прямого угла. С точки зрения этих учеников прямой угол не должен быть при вершине треугольника.
Итак, главная причина формализма при усвоении понятий состоит в том, что не уделяется должного внимания организации работы учащихся с определениями понятий. Только этим можно объяснить и такой удивительный факт, что десятилетиями в некоторых учебниках геометрии давались ошибочные определения, и этого не замечали ни учителя, ни методисты, ни ученики. В качестве примера возьмем учебник А.П. Киселева. До сих пор он считается одним из лучших и время от времени раздаются призывы вернуться к работе по этому учебнику. Не подвергая сомнению качество этого учебника в целом, отметим, что и в нем содержится немало неправильных определений понятий. В самом деле, прилежащие углы определяются как два угла, имеющие общую вершину и общую сторону. Если согласиться с этим и на основе именно этих свойств распознавать прилежащие углы, то мы должны будем отнести к прилежащим следующие углы: АОС и АОВ, а также углы АОС и ВОС. С
В самом деле, эти углы имеют все признаки, которые указаны в определении: два угла, общая вершина (точка о) и общая сторона (в первом случае общей стороной является АО, во втором – ОС). Но эти углы не прилежащие. Следовательно, определение Киселева не позволяет корректно выделять класс прилежащих углов.
Аналогична ситуация с вертикальными углами. Они определяются как два угла, имеющие общую вершину, стороны одного угла продолжают стороны другого. Согласно данному определению, мы должны признать вертикальными не только углы АОВ и СОВ, но и углы АОD и угол, дополнительный к углу СОВ, так как он образован теми же лучами, что и угол СОВ, и вершина его находится в той же точке. На том же основании угол СОВ будет вертикален с углом, дополнительным к углу АОD.
Аналогичным образом можно доказать, что определение смежных углов, данное в учебнике Киселева, также является неверным. На этом перечень ошибок, содержащихся в учебнике Киселева, не заканчивается. Заметим, что многие из них были обнаружены учащимися, которых научили работать с определениями понятий. Когда же определение лежит мертвым грузом в памяти человека, то несостоятельность этого определения не обнаруживается.
10.6. Условия, обеспечивающие управление процессом усвоения понятийДеятельностная теория усвоения позволяет управлять процессом усвоения понятий, формировать их с заданными качествами.
Достигается это через выполнение следующей системы условий.
Первое условие. Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства.
Второе условие. Знание состава используемого действия. Так, действие распознавания включает: а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия; б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах; в) оценку полученных результатов с помощью одного из логических правил распознавания (для понятий с конъюктивной и понятий дизъюнктивной системой признаков). При раскрытии содержания действия особое внимание уделяется его ориентировочной основе, которая должна быть не только адекватной, но и полной.
Третье условие. Представленность всех элементов действия во внешней, материальной (или материализованной) форме. Применительно к действию подведения под понятие это выглядит следующим образом. Система необходимых и достаточных признаков понятия выписывается на карточку, признаки материализуются (При усвоении, например, понятия перпендикулярные прямые даются модели прямой линии, прямого угла.) Материализуется логическое правило действия; дается такая схематическая условная запись (СНОСКА: Система может, конечно, состоять из большего или меньшего числа необходимых и достаточных признаков)
Учащимся разъясняют, что плюс означает наличие соответствующего признака, минус – отсутствие, знак вопроса –'неизвестно» (невозможность дать определенный ответ). Плюс после вертикальной черты означает, что определяемый предмет подходит под данное понятие, знак минус – не подходит, знак вопроса – неизвестно, подходит или нет. Кроме того, указывается, что во втором и третьем случаях ответ не изменится, если минус и знак вопроса будут относиться не ко второму, а к первому признаку. Алгоритм распознавания выписывается также на карточку.
Четвертое условие – поэтапное формирование введенного действия. В случае использования действия подведения под понятие проведение его через основные этапы осуществляется следующим образом. На этапе предварительного знакомства с действием учащемуся, после создания проблемной ситуации, раскрывают назначение действия подведения под понятие, важность проверки всей системы необходимых и достаточных признаков, возможность получения разных результатов, все это поясняя на конкретных случаях в материализованной форме. После этого учащемуся предлагается самому выполнить действие (это уже материализованный этап).
Учащиеся, используя ориентиры (признаки, правила) в материальной или материализованной форме, устанавливают наличие необходимой системы признаков у предметов, задаваемых непосредственно или в виде моделей и чертежей. Результаты выполнения каждой операции фиксируются с помощью тех же условных знаков («+», «-», «?») на заранее заготовленных схемах.
Пятое условие – наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия. Как было уже указано, контроль лишь по конечному продукту действия не позволяет следить за содержанием и формой выполняемой учащимися деятельности. Пооперационный контроль обеспечивает знание и того, и другого. При формировании понятий с помощью действия подведения под понятие в качестве операций выступает проверка каждого признака, сравнение с логическим правилом и т. д.
Естественно, что перед формированием действия подведения под понятие необходимо установить исходный уровень познавательной деятельности учащихся и произвести формирование необходимых предварительных знаний и действий. (Предварительные знания и действия, необходимые для формирования данного действия, были указаны в главе 5.)
Более подробно остановимся на поэтапном формировании понятий.
После выполнения пяти-восьми заданий с реальными предметами или моделями учащиеся без всякого заучивания запоминают и признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешнеречевую форму, когда задания даются в письменном виде, а признаки понятий, правило и предписание называются или записываются учащимися по памяти. На этом этапе учащиеся могут работать парами, поочередно выступая то в роли исполнителя, то в роли контролера.
В том случае, когда действие легко и верно выполняется во внешнеречевой форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание дается в письменном виде, а воспроизведение признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащийся совершает про себя. Учащийся все еще получает указания типа «Назови про себя первый признак», «Проверь, есть ли он» и т.д. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату и производится по мере необходимости.
Если действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. В программе обучения на этом этапе предусматривается контроль со стороны обучающего только за конечным продуктом действия; обучаемый получает обратную связь при наличии затруднений или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью умственным, идеальным, но содержание его известно обучающему, так как он сам его строил и сам преобразовал из действия внешнего, материального.
Так постепенно происходит преобразование действия по форме. Преобразование действия по обобщенности обеспечится специальным подбором заданий. Для получения намеченной степени обобщения предъявляются типичные виды задач в намеченных пределах. При этом учитывается как специфическая, так и общелогическая часть ориентировочной основы действия.
Для обобщения специфической части, связанной с применением системы необходимых и достаточных признаков, даются для распознавания все типичные виды объектов, относящихся к данному понятию. Так, при формировании понятия угол важно, чтобы учащиеся поработали с углами, отличающимися по величине (от 0° до 360° и больше), по положению в пространстве и т. п. Кроме того, важно взять и такие объекты, которые имеют лишь некоторые признаки данного понятия, но к нему не относятся.
Для обобщения логической части действия распознавания даются для анализа все основные случаи, предусмотренные логическим правилом подведения под понятие, т.е. задания с положительным, отрицательным и неопределенным ответами. Можно включать также задания с избыточными условиями. Характерно, что в практике обучения, как правило, дается лишь один тип задач: с достаточным составом условий и положительным ответом. В результате учащиеся усваивают действие распознавания в недостаточно обобщенном виде, что, естественно, ограничивает пределы его применения. Задачи с избыточными, неопределенными условиями дают возможность научить учащихся не только обнаруживать те или иные признаки в предметах, но и устанавливать достаточность их для решения стоящей задачи. Последние в жизненной практике часто выступают как самостоятельная проблема. Преобразование действия по двум другим свойствам достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно, как было указано, лишь на последних этапах – шестом или пятом. На всех других этапах дается лишь такое число знаний, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме. Задерживать действие на переходных формах нельзя, так как это приведет к автоматизации его в данной форме, что препятствует переводу действия в новую, более позднюю форму. Специально остановимся на вопросах, связанных с подбором заданий.
10.7. Требование к содержанию и форме заданийПри составлении заданий следует прежде всего ориентироваться на те новые действия, которые формируются. Все другие действия, требующиеся при выполнении заданий, должны быть усвоены в предыдущем обучении. Так, при формировании действия подведения под понятие нельзя давать ученикам такие задачи, где искомые признаки заданы опосредованно, через систему понятий. Например: как установить, являются или нет перпендикулярными прямыми биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника и его основание? В данном случае выполнению действия подведения под понятие должно предшествовать действие выведения следствии. Если учащиеся еще не овладели этим действием, то такого рода задачи они решить не смогут.
Второе требование к задачам – соответствие формы этапу усвоения. На первых этапах задания даются в материальной или материализованной форме. Это означает, что объекты, с которыми действуют учащиеся, должны быть доступны для реального преобразования. Так, в случае формирования научных понятий предъявляются или реальные предметы, или их заменители в виде моделей, схем.
Приведем образцы задач, которые могут быть использованы при формировании понятия угол.
На этапе материализованных действий могут быть предложены следующие задачи.
3. Установить есть ли на данном чертеже углы.
4. Поставьте точку О и из нее проведите две кривые линии. Определите, будет ли полученная фигура углом.
На этапе внешней речи учащиеся получают задания в речевой форме. Они должны теперь работать не с чертежами, а с описанными в условии задачи объектами. Поскольку в геометрии при решении задач обычно используются чертежи, то ученики нередко ориентируются на них, а не на условие задачи. Для того чтобы научить анализировать словесно данные условия, снять стремление работать с наглядным образом, к задачам можно давать чертежи, не соответствующие условиям задачи. Это помогает школьникам устанавливать меру соответвия между наглядным и словесно заданным объектом, учиться переходить от одной формы к другой.
5. Вот пример такой задачи: «Ученик начертил два луча, исходящие из разных точек. Начертил ли ученик угол?» К задаче дан чертеж, не соответствующий данным условиям:
При любом ответе ученика его просят объяснить, почему он так считает. Если он при этом опирается на чертеж, ему предлагают соотнести элементы чертежа и их описание в условии. Можно просить ученика сделать чертеж, отвечающий условиям задачи. Постепенно школьники привыкают работать только с данными условиями. Но, как показывает опыт работы с детьми, они всегда с удовольствием устанавливают соответствие чертежа условиям задачи. Обнаружив ошибку в чертеже, дети радостно сообщают об этом. Подобные задания они воспринимают как игру, своеобразное соревнование с учителем, который хотел бы направить их по ложному пути, но они обнаружили его «хитрость».
Приведем еще несколько образцов задач, которые могут быть даны на разных этапах усвоения (СНОСКА: Задачи составлены Г.А. Буткиным и И.А. Володарской для учащихся начальной школы.). Однако разница в их решении должна состоять в том, что на внешнеречевом этапе ребенок должен их решать, рассуждая вслух, доказывая правильность пути другому человеку. При работе на последующих этапах ученик сообщает (или записывает) только конечный ответ, а весь процесс решения выполняет про себя.
6. На чертеже изображен круг, внутри которого расположена точка О. Из этой точки исходят два луча. Будут ли они образовывать угол?
7. На прямой линии СД расположена точка К. Эта точка делит прямую на два луча КС и КД. Будут ли эти лучи сторонами угла СКД?
8. В центре квадрата АВСD расположена точка О, в которой пересекаются две линии МL и КN. Будет ли часть плоскости, ограниченная линиями ОК и OL, углом?
9. Девочка хотела нарисовать звезду, а у нее получилась фигура, состоящая из пяти лучей: OO, ОС, ОК. ОЕ, ОН, исходящих из одной точки О. Будут ли углами части плоскости, ограниченные лучами: OO и ОК, ОС и ОЕ, ОК и ОH?
10.Точка Х делит прямую ВК на два луча: ХВ и ХК. Через эту же точку прове
