Памяти Л.В. Занкова
ВВЕДЕНИЕРазвитие активности, самостоятельности, инициативы, творческого отношения к делу – это требования самой жизни, определяющие во многом то направление, в котором следует совершенствовать учебно-воспитательный процесс.
Реализация данного направления нашла свое практическое отражение в осуществлении развивающего обучения, основной характеристикой которого является активность и самостоятельность учащихся во всех видах учебной работы.
Поиски путей активизации познавательной деятельности учащихся, развитие их познавательных способностей и самостоятельности-задача, которую призваны решать педагоги, психологи, методисты и учителя.
Развитие ребят, писал Л. В. Занков, – это не только рост их прирожденных способностей, но еще в большей мере результат целенаправленной и систематической работы учителя над развитием его питомцев. Интенсивное продвижение ребят в развитии достигается в процессе всей учебно-воспитательной работы: и приобретения знаний, и овладения навыками, и формирования побуждения к учению.
Средством, позволяющим организовать целенаправленную и систематическую работу над развитием учащихся в процессе обучения математике, являются учебные задания. Выполняя их, учащиеся овладевают новыми знаниями, приемами умственной деятельности, закрепляют и, совершенствуют умения и навыки.
В книге приводятся учебные задания по различным вопросам курса математики начальных классов и методические рекомендации к их использованию, конкретизирующие задачи развивающего обучения.
При составлении заданий автор руководствовался дидактическими принципами, разработанными в лаборатории проблем обучения и развития НИИ общей педагогики АПН СССР под руководством Л. В. Занкова. Пособие имеет несколько разделов. В первом – «Роль учебных заданий в процессе обучения» – раскрывается тот общий подход к составлению учебных задании в начальном курсе математики, которым руководствовался автор, опираясь на педагогические исследования, проведенные лабораторией проблем обучения и развития под руководством Л. В. Занкова. Последующие разделы содержат учебные задания, которые являются конкретизацией задач развивающего обучения при изучении математики в начальных классах.
Одной из центральных задач начального курса математики является формирование у учащихся прочных и сознательных вычислительных навыков. Безусловно, навык формируется в процессе многократных упражнений, тем не менее при выполнении тренировочных упражнений не следует ослаблять работу и над развитием учащихся. Этого можно достигнуть, используя в процессе обучения такие задания, которые побуждают учащихся не только к воспроизведению, но и требуют наблюдения, анализа, сравнения. Примеры таких заданий при формировании вычислительных навыков в I классе приведены в разделе «Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания».
Различные методические приемы формирования у младших школьников представлений о величинах, которые также реализуются посредством учебных заданий, нашли свое отражение в разделе «Формирование представлений о величинах». Здесь подробно излагается методика ознакомления учащихся с такими величинами, как длина, масса, емкость, описывается последовательность возможных ситуаций, которые носят проблемный характер и эффективны в плане активизации познавательной деятельности учащихся.
Большую роль в формировании представлений о величинах играет выполнение практических заданий, связанных с измерением длин отрезков, массы тел и емкости сосудов. Практическая направленность курса в изучении величин создает благоприятные условия для совершенствования вычислительных навыков. В разделе предлагается ряд заданий, которые целесообразно использовать на уроках.
В разделе «Подбор учебных заданий» приведены примеры учебных заданий, подобранных в определенной последовательности, которые учитель может использовать при изучении конкретных вопросов курса математики начальных классов; подчеркивается взаимосвязь предлагаемых заданий, возможность органического включения повторения в процесс изучения нового материала, установление связей и зависимостей между различными вопросами курса. Приведенные задания различны по своей форме, требуют рассуждения. Задания постепенно усложняются, предъявляя все более высокие требования к интеллектуальной деятельности школьников. Это вовсе не исключает тренировки в формировании умений и навыков, а только способствует их большей целенаправленности и содержательности. В разделе приводятся учебные задания, используемые при изучении следующих вопросов: I класс – «Знакомство с круглыми числами. Нахождение неизвестного уменьшаемого», II класс – «Изучение нумерации в концентре «Тысяча», III класс – «Умножение и деление чисел, оканчивающихся нулями».
В разделе, посвященном проверке домашней работы на уроке, на конкретных примерах показано, как сделать проверку домашней работы органической частью урока, повысить активность и самостоятельность учащихся при проверке домашних заданий.
Индивидуальные самостоятельные работы, которым посвящен последний раздел, рассматриваются не только как средство формирования знаний, умений и навыков, но и как условие, позволяющее учащимся проявить максимум инициативы и самостоятельности в процессе их выполнения. Показано, что в такие работы целесообразно включать задания, одинаковые по содержанию и различные по способу выполнения. Именно использование таких заданий является эффективным в плане развития учащихся.
Реализация Основных направлений реформы общеобразовательной и профессиональной школы в процессе начального обучения математике включает целый ряд мероприятий, нацеленных на повышение качества знаний учащихся. Это прежде всего изменения, которые внесены в действующую программу по математике для начальных классов. Они создают необходимые условия не только для формирования навыков беглого осознанного счета, но и позволяют шире использовать в процессе обучения наглядные средства и практические работы.
Совершенствуя методы, средства и формы обучения, каждый учитель должен проявить максимум творчества и инициативы, чтобы обеспечить активное усвоение знаний учащимися, заложить основы их всестороннего развития и интереса к учению.
РОЛЬ УЧЕБНЫХ ЗАДАНИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯТермин «задание» находит свое применение как в самых различных отраслях знаний, так и в обиходе. В самом широком смысле термин «задание» можно понимать как предложение, обращенное к тому или иному субъекту и требующее выполнения от него тех или иных действий. Эти действия могут носить самый различный характер. Говоря о заданиях в процессе обучения, М.А. Данилов отмечает: «Иногда полагают, что движущей силой учебного процесса является учитель, его объяснения, указания, задания. Подобная концепция обучения ясно выступает на уроках некоторых учителей. Они непрерывно объясняют, указывают, командуют, а на долю учеников остается лишь подражательно-исполнительные функции'1. Урок такого учителя состоит в основном из заданий: «Достаньте тетради. Вспомните решение задач на объем. Откройте задачник на странице 78, возьмем задачу ? 598. Алеша Чуриков пойдет к доске. Будем проверять домашнее задание. Как решили первую задачу?'2.
Подобные задания несут на себе в основном организационную нагрузку и не оказывают положительного влияния на характер овладения учебным предметом. Более того, как верно указывает М. А. Данилов, «подобный урок дает основание полагать, что учитель представляет учебный процесс не иначе, как с постоянно заторможенной пассивной ролью учащихся, в силу чего учителю ежеминутно приходится подталкивать их, двигать учебный процесс своими словами и жестами'3.
1 Данилов М. А. Процесс обучения в советской школе. М: Учпедгиз, 1963, с. 40
2 Там же, с. 40.
3 Там же.
Но помимо вышерассмотренных заданий существуют и другие, о которых можно с уверенностью сказать, что от их характера во многом зависит ход обучения в школе. Речь идет о заданиях, которые тесно связаны с логикой учебного предмета и которые обусловливают умственную и практическую деятельность учащихся. По поводу таких заданий М. А. Данилов пишет, что если выдвинутое задание вызывает собственное стремление учеников к познанию нового, неизвестного и к применению познанного ими, то можно думать, что в способности ученика видеть задачу, в стремлении найти ее решение кроется тайна успешного обучения и умственного развития школьников. «Все те изменения в сознании и поведении школьников, которые происходят в обучении, есть результат напряжения мысли учащихся, итог их усилий в усвоении знаний, умений и навыков, в выполнении учебно-практических заданий'1.
Прежде чем перейти к непосредственной характеристике учебных заданий по математике, необходимо уточнить понимание некоторых терминов в дидактике, соотносящихся с термином «учебное задание».
Упражнение, познавательную задачу можно считать разновидностями учебного задания, так как они используются в процессе обучения с определенной дидактической целью. Так упражнение ставит цель овладения тем или иным навыком. Термин «упражнения» наиболее удобен в этом смысле, так как, действительно, для формирования определенного умения необходима тренировка, упражнение, но в таком случае упражнение скорее можно понимать как действие (физическое или умственное), которое возникает под влиянием того или иного задания. Учебные задания, которые требуют от школьников либо подражания (выработка умения писать определенную цифру или букву), либо тренировки в применении знаний, умений и навыков, приобретенных ранее под руководством учителя, в условиях, аналогичных тем, в которых они формировались (например, умножение и деление на 10, 100 и т. д.), целесообразно называть упражнениями.
Познавательная задача также связана с определенной дидактической целью, ее решение обращено на получение новых знаний.
Говоря о познавательных задачах в обучении истории, И. Я. Лернер пишет: «Прежде чем вводить в практику обучения познавательные задачи, надо было выяснить, как учащиеся справляются с такого вида заданиями'2. Проводя далее анализ заданий в учебниках истории и группируя их с точки зрения уровня познавательной деятельности учащихся, И. Я. Лернер выделяет задания на воспроизведение и закрепление готовых знаний и задания на развитие самостоятельности и творчества, к числу которых относит познавательные задачи.
Мы не ставим задачу рассмотреть какой-то особый вид учеС-ного задания и определить его место в процессе обучения. Мы рассматриваем учебное задание в тесной связи с методикой предмета и говорим о его характере в зависимости от той умственной деятельности, которую вызывает учебное задание у школьников. Характер учебных заданий вскрывает внутреннюю сущность методов обучения, используемых учителем, позволяет конкретизировать каждый метод с точки зрения его познавательного значения. Например, используя метод работы с книгой или учебником, учитель может ограничиться заданием: «Прочитай и расскажи». Но тот же метод работы может сопровождаться и такими заданиями, как: найти в тексте ответы на вопросы, отыскать главную мысль прочитанного, описание явлений, событий, сравнить их между собой, осмыслить причины явления, привести доказательства...
1 Данилов М. А. Процесс обучения в советской школе. – М.: Учпедгиз, 1903,
с. 40
2 Познавательные задачи в обучении гуманитарным наукам/Под ред. И. Я. Лернера. М.: Педагогика, 1972, с. 39.
То есть применение одного и того же метода в одном случае вызывает репродуктивную деятельность учащихся, в основе которой лежит воспроизведение, а в другом случае побуждает ученика к продуктивной деятельности, в основе которой лежат такие мыслительные операции, как сравнение, анализ, синтез, обобщение. В зависимости от тех или иных заданий, которые сопровождают данный метод, изменяется и его роль в процессе обучения и появляется возможность говорить о вариативности использования одного метода. Для того чтобы более конкретно охарактеризовать тот или иной метод, дидакты обращаются к характеристике заданий. Так, характеризуя изменение метода в зависимости оn дидактических целей, можно указать следующие особенности заданий1. Например, при изложении учителем новых знаний необходимы задания, которые должны подготовить учащихся к восприятию нового материала. Эти задания могут быть представлены в виде вопросов, предложения прочесть ранее пройденное, что необходимо для понимания нового задания, связанного с наблюдением, с собиранием фактов, которые затем будут осмыслены учениками при изложении новой темы.
В связи со второй дидактической целью – закреплением учащимися знаний – характер заданий изменяется. Учащимся предлагаются задания, требующие самостоятельного применения полученных знаний, объяснения какого-либо нового факта, явления, не упоминавшегося в изложении учителя, ответы на вопросы, придумывание новых примеров.
Лернер И. Я. и Скаткин М. Н. в своей статье «О методах обучения'2 указывают, что более детальная разработка каждою из методов заключается в составлении конкретных заданий по каждому учебному предмету в соответствии с этапами познания. Предлагая школьникам учебное задание, учитель предвосхищает, какие виды умственной деятельности вызовет его выполнение у учащихся. Отсюда следует, что характер и последовательность задании определяет процесс овладения знаниями. Овладеть тем или иным содержанием – это не единственная цель, стоящая перед обучением в школе. Важен процесс этого овладения, от которого в большой степени зависит развитие учащихся. Характер же этого процесса во многом определяется учебными заданиями.
В зависимости от деятельности, осуществляемой учеником в • процессе выполнения задания, наиболее распространены их следующие виды: задания, требующие подражания, когда учитель
дает образец выполнения задания, сопровождая свои действия необходимыми пояснениями, а дети следят за показом и затем воспроизводят, стремясь при этом достичь наибольшего сходства с образцом; задания тренировочные, требующие от учеников самостоятельного применения знаний, умений и навыков, приобретенных ранее под руководством учителя в условиях, аналогичных тем, в которых они формировались; задания, требующие от детей применения приобретенных ранее знаний в условиях, в большей или меньшей степени отличающихся от тех, которые имели место при их формировании; задания, которые способствуют проявлению у детей активной мысли, творчества (это задания, требующие от учащихся самостоятельного получения нового вывода на основе наблюдений, анализа условий выполнения того или иного задания).
1 Основы дидактики/Под ред. Б. П Еснпова. М.: Просвещение, 1967, с 254
2 Лернер И. Я-, Скаткин М, Н. О методах обучения. – Советская педа10-г:,ка, 1965, Л» 3.
Учитывая специфику курса математики в начальных классах, можно выделить виды заданий, в основе которых лежит:
– запоминание таблицы арифметических действий;
– владение вычислительными приемами;
– связь определенного понятия с тем или иным арифметическим действием;
– непосредственное применение нужного правила;
– выделение различного и сходного;
– выделение какой-либо закономерности на основе наблюдений;
– косвенное применение того или иного правила;
– выяснение причинно-следственных связей.
Приведем те основания, которыми мы руководствовались, располагая виды заданий в вышеприведенной последовательности. Для этой цели проанализируем деятельность учеников, вызываемую каждым видом задания. Так, выполнение заданий первого вида основано только на деятельности памяти (ребенок заучивает, например, таблицу сложения и таблицу вычитания в пределах 10 либо запоминает порядок чисел, образующих натуральный ряд, и на этой основе выполняет предложенное ему задание, присчитывая или отсчитывая по одному). Типичная форма заданий такого вида: «Вычисли», «Реши пример», при этом ученику предлагаются лишь в другом порядке те же самые примеры, которые имеют место в таблице. Ученик просто припоминает требуемый от него табличный случай.
Надо сразу отметить, что если в учебном процессе выполнение данного вида заданий занимает большую часть времени, то обучение превращается лишь в тренировку.
Задания, в основе выполнения которых лежит владение учеником вычислительным приемом, можно поставить на более высокую ступень. Их выполнение уже не может быть основано на механическом запоминании, так как большое разнообразие, например, случаев сложения и вычитания ученик не в состоянии запомнить. Овладение приемами вычислений требует прежде всего понимания и усвоения разрядного состава числа, на основе чего и строится большинство вычислительных приемов. Но несмотря на то что выполнение данного вида заданий связано с таким сложным вопросом, как осознание десятичной системы счисления, мы ставим эти задания на вторую ступень, так как то арифметическое действие, которое должен выполнить ученик, заранее определено (нужно, например, сложить или вычесть). Речь в данном случае опять идет о той же форме задания: «Вычисли», «Реши пример».
Большинство заданий по математике в начальной школе так или иначе связано с вычислениями, но когда выполнение вычислительных операций служит определенной цели или основано на применении какого-либо понятия, применении правила, мы имеем уже другой вид задания, который стоит на более высокой ступени, так как его выполнение требует от ученика установления тех или иных связей. Например: «Увеличьте 5 на 2». Чтобы выполнить задание, ученик должен понять и запомнить, что значит «увеличить». Путь к выполнению задания состоит уже из двух шагов: сначала ученик должен соотнести понятие «увеличить» с нужным арифметическим действием и только после этого выполнить вычисления. Или, например, задание: «На сколько пять больше трех?» Чтобы выполнить его, ученик должен прежде всего знать правило: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее». Мы опять имеем два шага – воспроизведение правила и выполнение вычислительной операции. По сравнению с заданиями первого и второго вида эти задания являются более сложными для ученика, так как требуют усвоения того или иного понятия или правила и умения применить его.
Для выполнения заданий на выделение различного и сходного ученик не только должен владеть определенным запасом понятий и терминов, без чего операция сравнения носит формальный характер, когда школьник выделяет только внешнее сходство или различие тех или иных объектов, не только устанавливать те или иные связи, но и проявить наблюдательность, а также проанализировать данные, полученные в процессе наблюдения. Примеры таких заданий:
– Чем похожи пары примеров?
3+5 8-3 7+2 9-7 6+3 9-3
– Что сходного и различного вы находите в уравнениях?
х+14 = 35 х+14 = 30+5
– Что сходного и различного вы находите в примерах?
15+18 = 33 15+9=24
– Укажите на сходство и различие выражений:
(17+19) + 1 (19+1) + 17
– Укажите на сходство и различие выражений:
3+5 3+(2+3) (1+2)+5 (1+2)+ (2+3)
– В чем сходство и различие пар чисел?
17 и 77, 71 и 17
Задания на выявление какой-либо закономерности на основе наблюдений, так же как, и задания на выявление различного и сходного, требуют от учеников выполнения самых разнохарактерных действий: владения вычислительными навыками, понятиями, умением наблюдать, анализировать. Но в отличие от заданий предшествующего вида, где ученику прямо указывается способ выполнения задания (надо найти различное и сходное), в заданиях данного вида такое указание отсутствует. Ученик самостоятельно должен прибегнуть к наблюдению, проанализировать полученные данные и обобщить их. Например:
– Как изменяется сумма в данных примерах? Как изменяется слагаемое? 17+9 = 26, 17+10 = 27, 17+11 = 28, 17+12 = 29. (Чтобы ответить на вопрос, как изменяется?, нужно прибегнуть к сравнению, только тогда можно установить закономерность изменения суммы)
– По какому правилу записан ряд чисел? Продолжите этот ряд: 10, 12 14, 16, 18, 20, 22,....
– Перепишите числа в порядке возрастания. Вставьте недостающие числа, чтобы каждое следующее было на 2 единицы больше предыдущего: 17, 21, 13, 25.
Задания, выполнение которых основано на косвенном применении правила помимо различных видов деятельности, указанных в предыдущих заданиях, требуют от ученика еще и некоторой сообразительности, которая обусловливается системой знаний, сложившейся у ученика, а также его общим развитием. Поэтому задания этого вида представляют для ученика большую сложность, чем предшествующие. Например:
– Можно ли сказать, не вычисляя, будет ли значение выражений в каждом столбике одинаковым?
(17+3)+7 (18+9)+2
(3+7) + 17 (18+2)+9
(17+7)+3 (10+2) + 18
– На сколько 44 меньше 81? 44+х=81.
На сколько сумма меньше неизвестного числа? 18+х=24.
Задания на выяснение причинно-следственных связей мы ставим на самую высокую ступень, так как для их выполнения ученик должен привести ряд логических рассуждений и сделать из них определенные выводы, которые и явятся обоснованием выполняемых действий. Этот вид заданий тесно связан с предыдущим, но требует от ученика более связного и точного выражения мыслей в слове.
– Почему изменяется значение суммы?
13+7 = 20 13+9=22 13+11=24 13+13 = 26
– Могут ли значения неизвестного быть одинаковыми в уравнениях? Объясните свой ответ: х+13=26 х+14 = 26
– В каком уравнении значение неизвестного будет больше? Почему?
х+14 = 30 х+19 = 30
Ориентировка на вышерассмотренные виды позволяет все многообразие заданий по математике использовать в их усложняющейся последовательности, что способствует проявлению разнообразной деятельности учащихся и оказывает положительное влияние на их развитие.
Помимо указанных видов заданий можно назвать и некоторые признаки, руководствуясь которыми можно усложнять задания каждого вида. Это число соотносимых данных в условии задания, число взаимосвязей, которые должен установить ученик в ходе выполнения задания, возможность нескольких вариантов выполнения задания.
Таким образом, в основе выделения видов учебных заданий лежит изучение мыслительной деятельности школьников. Это, вероятно, самый эффективный путь сделать учебные задания не только средством усвоения знаний, умений и навыков, но и средством развития учащихся.
ФОРМИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯЗадача формирования вычислительных навыков является центральной в курсе математики начальных классов. Но было бы ошибкой решать эту задачу только путем зазубривания таблиц сложения и умножения и использования их при выполнении однообразных тренировочных упражнений. Безусловно, количество выполняемых тренировочных упражнений (или, как принято называть их в практике, примеров) играет немаловажную роль в формировании вычислительных навыков. Но не менее важной задачей советской школы является развитие у учащихся в процессе обучения познавательной самостоятельности, творческой активности, потребности в знаниях.
Возникает вопрос: можно ли решить одновременно, в тесной взаимосвязи такие задачи, как формирование прочных вычислительных навыков и развитие познавательных способностей школьника?
Ответ может быть только положительным, несмотря на то что данные задачи противоположны по своему смыслу и специфика их решения различна. Действительно, нужно ли рассуждать, анализировать, наблюдать при вычислении результатов? Конечно, нет. Нужно или помнить табличные случаи сложения, умножения, деления, или пользоваться таблицей или каким-либо вычислительным устройством. Но ответить таким образом – значит неправомерно сузить задачи курса начальной математики. Кроме того, речь идет о самом процессе формирования вычислительных навыков, поэтому далеко не безразлично, какую методику следует использовать для достижения поставленной цели. Присутствие в вычислительных упражнениях элемента занимательности, догадки, сообразительности, умение подметить закономерности, выявить сходство и различие в решаемых примерах, установить доступные зависимости и взаимосвязи – вот те основные особенности методики формирования вычислительных навыков, реализация которых позволит решить в практике обучения и задачу формирования прочных вычислительных навыков, и задачу развития познавательных способностей учащихся.
Для организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся в начальной школе обычно используют метод наблюдений. В процессе наблюдения ученики анализируют, сравнивают, делают вывод. Полученные таким образом знания являются, более осознанными и тем самым лучше усваиваются. Процесс наблюдения и анализа рассматриваемых объектов, ведущий к обобщению, неразрывно связан с рассуждением, выявлением причинно-следственных связей, с обоснованием тех выводов, к которым приходит ученик в процессе выполнения предлагаемых ему заданий. Умение рассуждать (как говорят учителя, «думать») формируется, безусловно, и в тех случаях, когда учащиеся воспроизводят знакомую им схему рассуждений, действуют по аналогии. Иллюстрацией такого рассуждения может служить обоснование полученного результата при решении примеров на вычисления.
Например, предлагая решить пример: 6+2, учитель часто сопровождает его вопросом: «Как будешь рассуждать, чтобы найти результат?» (Можно к шести сначала прибавить 1, получим следующее число 7, затем еще прибавить 1, получим 8.) Но в основе приведенного рассуждения лежит образец, который учащиеся десятки раз повторяли на уроках. Аналогичная ситуация возникает при выполнении вычислительных операций в пределах сотни. Предлагая классу пример: 30+26, учитель также сопровождает его вопросом: «Как будешь рассуждать?» (26 представим в виде суммы разрядных слагаемых 20+6, десятки удобнее сложить с десятками, 30+20=50, 50+6=56.) Ученик может обосновать решение данного примера и на более высоком уровне, сославшись на правило прибавления суммы к числу. Но и в этом случае он руководствуется заранее усвоенной схемой рассуждения.
В большинстве случаев именно с таким видом рассуждений мы сталкиваемся на уроках математики в I классе. Он, безусловно, нужен, но такая направленность формирования умения рассуждать недостаточна, потому что подлинное рассуждение связано прежде всего с самостоятельностью мысли ученика, с его самостоятельной деятельностью, в основе которой лежит установление взаимосвязи тех знаний, которыми он располагает.
Для того чтобы дети умели последовательно излагать свои мысли, переходя от одного суждения к другому, с первых шагов обучения следует учить их рассуждать. Как это сделать в I классе, когда дети располагают небольшим запасом математических знаний и делают только первые шаги на пути к познанию?
Многие учителя склонны считать, что единственный путь научить детей рассуждать – это показ образца того или иного рассуждения, которое дети повторяют из урока в урок и в конечном итоге овладевают им. Рассуждения в таком случае просто заучиваются детьми и часто носят формальный характер. Воспользуемся для иллюстрации сказанного таким примером.
В I классе ученикам предлагается решить примеры и сравнить их: 2+1, 2+2. Методика работы с заданием следующая.
Учитель показывает образец выполнения задания или ставит перед учениками ряд вопросов, обращая их внимание на то, что в одном и другом примере стоит знак плюс и первые слагаемые одинаковы. Этим примеры схожи. Затем выявляются различия: в первом примере второе слагаемое равно 1, во втором 2, сумма в первом примере равна 3, во втором 4. Отмечается, что во втором примере прибавляем больше (2>1), поэтому и получаем больше.
Усвоив схему сравнения, предложенную учителем, дети используют ее при выполнении аналогичных заданий. В таких случаях, выполняя задания, ученики наблюдают, выявляют различия и сходства, но их деятельность определяется схемой, и самостоятельность наблюдений, таким образом, в этом случае относительно мала.
Более того, проведенный учеником анализ носит формальный характер, вскрывая лишь внешнее сходство и различие записанных равенств:
2+1=3
2+2=4
Тем не менее на определенном этапе и такая работа оказывается полезной как в плане развития математической наблюдательности, так и в плане развития вычислительных навыков. Сопоставляя предлагаемые два равенства, ученики непроизвольно запоминают их. Но для того чтобы учащиеся глубоко осознали внутренние взаимосвязи, существующие между суммой и слагаемми, целесообразно предложить им такие задания, при выполнении которых они учились бы наблюдать, подмечать изменения, устанавливать их причину и делать соответствующие выводы. Благодатным материалом для этой цели служит знакомство с весами и единицами массы. Приведем примеры ситуаций, которые учитель может использовать для этой цели.
1. Учитель кладет на одну чашку весов какой-либо предмет, а на другую чашку весов – гирю, например, в 5 кг. Стрелки весов находятся на одном уровне. Затем на одну чашку весов ставится гиря в 1 кг, а на другую – в 2 кг. Ученики наблюдают, что положение стрелок изменилось, и пытаются установить причину. Сама постановка задания – ответить на вопрос, почему изменилось положение стрелок, – требует от учеников установления цепочки умозаключений. Ученики рассуждают: стрелки весов в первом случае находились в равновесии, значит, масса предмета на левой чашке весов равна массе гири на правой чашке. Полезно зафиксировать сказанное в записи: 5 = 5. Затем на левую чашку добавили гирю в 1 кг, а на правую –в 2 кг: 5+1...5 + 2. Положение стрелок изменилось. Масса на правой чашке стала больше, чем на левой: 5+1<5+2. Что же явилось причиной изменения? Причина может быть только в том, что масса гири, которую поставили на правую чашку, больше массы гири, которую поставили на левую чашку: 1<2.
2. На левой чашке весов предмет. На правой – гиря в 5 кг.
На одну и другую чашку ставится гиря в 2 кг. Ход рассуждений
ученика фиксируется в соответствующей записи: 5 = 5, 5+2 –
==5+2, 2 = 2. Полезно также сравнить первую и вторую ситуации.
3. На одной чашке весов гиря в 3 кг, а на другой – в 2 кг. Затем на каждую чашку весов добавляются гири по 5 кг. Ход рассуждений фиксируется в записи: 3>2, 3+5>2+5, 5 = 5.
Приведенные задания позволяют организовать наблюдения учеников, в процессе которых они самостоятельно приходят к выводам. При этом важно, чтобы результаты своих наблюдений ученики фиксировали с помощью математической записи, только в этом случае проделанная работа будет служить подготовительным этапом для сознательного сравнения учениками математических выражений.
Переходя к сравнению непосредственно математических выражений, учитель должен помнить, что задача, которая ставится перед учениками в процессе их наблюдений, должна видоизменяться. Только в этом случае их мысль будет активно работать. Не следует ограничиваться лишь сравнением однотипных выражений (например, сумм, в которых первые слагаемые одинаковы, а вторые различны), так как это будет снижать степень самостоятельности учеников в процессе наблюдений. Следует подбирать такие выражения, в которых ученики смогут усмотреть разные признаки различия и сходства, например:
1. На доске записаны примеры: 5+3, 4+3, 8-3, 6+3, 7-3, 9-3. Учитель предлагает указать сходство или различие записанных выражений. Ученики обычно указывают такой признак сходства, как знак действия, затем обращают внимание на то, что в первой группе прибавляется число 3, а во второй вычитается число 3. Отмечают различия между примерами первой и второй группы: знаком действия и тем числом, которое в первом случае увеличивается, а во втором уменьшается.
2. Первое задание несколько усложняется, если его предложить в таком виде:
5+3 8-3 4+3 7-3 6+3 9-3
Чем похожи между собой данные пары примеров?
При сравнении пар примеров ученики могут выделить не только явные признаки сходства – знак арифметического действия, прибавить и вычесть 3, но и неявные – в каждом столбике вычитаем из того числа, которое является результатом первого примера.
Полезно предлагать задания и в более общем виде: 1 + 1, 2+1, 3+1, 4+1, 6+1, 7+1. Что вы замечаете в данных примерах?
Ученики должны обратить внимание не только на тот факт, что во всех примерах знак «плюс» и второе слагаемое везде равно 1, но и на то, что последовательность 1, 2, 3, 4... нарушена, так как пропущен пример 5+1.
Подобные задания способствуют развитию математической наблюдательности учеников, умению видеть сходства и различия, выявлять определенные закономерности. В процессе выполнения таких заданий уясняется смысл понятия «сравнить».
На следующем этапе необходимо подвести учеников к осознанию того, что с помощью данной операции (сравнения) они могут решать те или иные задачи. Это особенно важный шаг, так как только в этом случае можно использовать прием сравнения как. определенный метод познания.
Выше было приведено задание, которое имеет место в практике обучения в I классе (решите примеры и сравните их: 2+1, 2+2), и описана методика работы с этим заданием. Это же задание часто предлагается с несколько измененной инструкцией: «Сравните примеры и решите их: «2+1, 2+2». Ученики указывают сходство (знак «плюс») и различие двух выражений (прибавляем 1, прибавляем 2), а затем находят результаты и сравнивают их.
Если проанализировать логику самого задания и подход к его выполнению, то они не соответствуют друг другу. Ведь от ученика требовалось сначала провести сравнение, а затем использовать его результаты для решения примеров, т. е. ответ ученика должен был быть таким: «Первые слагаемые одинаковые, а во втором случае 2>1 на 1, значит, и ответ будет на 1 больше. 2+1=3, значит, 2 + 2 = 4».
Использование операции сравнения для установления определенных связей и зависимостей – это достаточно высокая ступень познания младшего школьника, но учитель должен вести работу и в этом направлении, чтобы дать возможность включаться в активную деятельность всем ученикам класса, как слабым, так и сильным.
Другими словами, ученик должен осознать практическую значимость сравнения, т. е. сравнение должно быть выполнено не ра-
ди самого сравнения, а явиться средством решения той или иной задачи.
С целью проведения работы в данном направлении учитель может использовать задания:
1. 6+1=7. Сколько нужно прибавить к шести, чтобы получить не 7, а 8?
Ученик рассуждает: 8>7 на 1. Чтобы получить число на 1 больше семи, нужно прибавить на 1 больше, т. е. 2. Но ученик вправе дать ответ и сразу, на основе усвоенной таблицы, т. е. 6+2 = 8. В этом случае учитель обращает его внимание на сравнение данных примеров, при котором учащиеся указывают на сходства и различия и выясняют, почему получена сумма на одну единицу больше, нежели предыдущая.
2. 5+2 =
5+3= Сравните эти примеры и вычислите результат. Задача учителя – довести до сознания учащихся взаимосвязь первой и второй частей инструкции, т. е. использовать проведенное детьми сравнение для вычисления результата второго примера (3>2 на 1, значит, сумма во втором примере должна быть на 1 больше).
3. 6+2 = 8. Сколько нужно прибавить к шести, чтобы получить не 8, а 9? Задание, предложенное в таком виде, вызывает необходимость обосновать свои действия. Ученик не может уже ограничиться ответом; 6+3 = 9, так как в этом случае не использует условие, данное в задании. При обосновании ответа он вынужден прибегнуть к сравнению, т. е., прибавив к шести 2, мы получили 8, значит, чтобы получить число 9, которое на 1 больше восьми, мы должны прибавить к шести число, которое на 1 больше, т. е. 3.
4. 5+3, 5+4. Могут ли в данных примерах получиться одинаковые ответы? При любом ответе ученик вынужден прибегнуть к сравнению данных примеров. Причем он делает это самостоятельно, без наводящих вопросов учителя.
5. 4+3 = 7, 4+...=6. Можно ли вместо точек поставить число 3, чтобы вторая запись была верной?
Выполнение задания опять связано с необходимостью сравнить данные примеры и на основе этого прийти к определенному выводу.
6. 5+2 = 7 2+... = 7
Какое число можно поставить вместо точек, чтобы второе равенство было верным? Почему?
7. 5+1=6, 3+4 = 7, 5+3 = 8, 9+1 = 10, 7+2=9. Посмотрите внимательно на решенные примеры. Какой из них поможет найти верный результат в примере 3 + 5?
8. 5+4 5+3
3+5 7+0
4+5 9+1
6+1 0+7
Укажите примеры, в которых суммы одинаковы.
Для выполнения этого задания ученик должен использовать операцию сравнения. Ход его рассуждений может быть следующим: он выделяет примеры, в которых слагаемые одинаковые, на переставлены, и, сославшись на переместительное свойство сложения, делает соответствующий вывод. Но может ограничиться и вычислением результатов и на основе их сравнения сделать вывод.
Отличительная особенность вышеприведенных заданий та, что ни в одном из них нет прямого указания на то, что примеры нужно сравнить, найти в них сходство или различие, тем не менее использование данной операции является неотъемлемой частью выполнения задания, что, несомненно, повышает степень самостоятельной деятельности учащихся. Надо сказать, что использование таких заданий в процессе обучения математике решает не только задачу развития познавательных способностей, но и способствует формированию вычислительных навыков. Это связано с тем, что данные задания могут быть выполнены на различных уровнях – либо на основе проведения вычислений, либо на основе использования того или иного свойства или правила. Задача учителя – довести До сознания детей взаимосвязь этих двух подходов. Так, если учащиеся выполнили задание, сославшись на то или иное правило или свойство, то они подтверждают свой вывод проведением вычислительных операций (используя при этом приемы отсчитывания и присчитывания или знание таблицы сложения). Если же учащиеся выполнили задание на основе вычисления результатов, то учитель обращает их внимание на сходство и различие математических выражений, тем самым подводя их к пониманию того, что задание могло быть выполнено и на основе использования того или иного правила или свойства.
Постепенно учитель усложняет задания, используя операцию сравнения для установления определенной закономерности. Например:
1. 10, 12, 14, 16, 18 ........ По какому правилу записан данный ряд чисел? Продолжите данный ряд.
2. 17, 21, 13, 25. Перепишите числа в порядке возрастания. Вставьте недостающие числа так, чтобы каждое следующее число было на 2 единицы больше предыдущего.
3. 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Какие числа нужно зачеркнуть в записанном ряду, чтобы каждое следующее число было на 2 единицы больше предыдущего?
4. 13+2=15, 13+4=17, 13+8=21, 13+10=23. Как изменяется сумма? Вставьте недостающий пример так, чтобы сумма увеличивалась бы каждый раз на две единицы.
Многие учителя считают, что выполнение таких заданий занимает много времени, и тем самым наносит ущерб той тренировочной работе, которая осуществляется с целью формирования вычислительных навыков. С этим трудно согласиться. Задача формирования вычислительных навыков не должна решаться только на основе тренировки в решении однообразных примеров. Учащиеся должны выполнять вычислительные операции с определенной целью, которая поставлена заданием или вопросом. Только в этом случае можно научить ученика рассуждать, т. е. последовательно переходить от одного суждения к другому и в конечном итоге давать обоснованный ответ.
Так, вместо решения примеров: 5+2, 2+1, 5+3 и т. д. – учитель может предложить задание: «Миша и бабушка пошли на рынок. Они должны купить 3 кг картофеля, 2 кг моркови, 1 кг свеклы и 3 кг помидоров. Какие овощи может нести Миша, если ему разрешено поднимать груз не более 6 кг?» При выполнении задания учащиеся производят вычислительные операции, но полученные результаты они должны соотносить с условием задания. Именно это соотнесение и явится основой их рассуждений.
Вместо того чтобы записывать примеры на состав числа 7, учитель может воспользоваться таким заданием: «Коля и Вова поделили между собой 7 яблок. Коля сказал, что у него столько же яблок, сколько у Вовы. Верно ли ска
